Ukazuješ to nikoli "skoro stejným tvrzením jako indukčním krokem", ale přímo indukčním krokem.
1) Výraz nic => B v logice neexistuje. Takže v prvním případě máš výraz typu
A_1 & A_2 ... A_n-1=> B_n
v druhym případě
B_1
Takže výraz pro 1 není stejný jako pro ostatní. To ti může připadat jako slovíčkaření, v každym případě se prostě musíš, aby byl důkaz korektní, explicitně ukázat, že pro 1 to platí bez předpokladů. Tzn. potřebuješ pevný bod.
Matematická analýza nejen že potřebuje teorii množin, ale dokonce i teorii množin s axiomem výběru.
To není pravda, alespoň matematická analýza tak, jak se učí na MFF. Tam se prostě zadefinují axiomy tělesa as jede se. Jestli pak existuje nějaká teorie (ať už ZFC nebo třeba Vopěnkova), ve který se daj axiomy MA dokázat z jejich axiomů, je možné, ale to nic nemění na tom, že MA má svoje axiomy a vyvozuje z nich.
To, že tomu tak je, vyplývá i z toho, kolik TEMEN existuje. Kdyby byla MA na TEMNU závislá, muselo by být jen jedno TEMNO. Těch teorií ale existuje hafo (byť některé jsou oblíbenější a některé nikoli) a ze všech se dá MA namodelovat.
Vem si pascal a stroják. Pascal může běžet na X různých architekturách počítače, na všech dá ale stejné výsledky. Každá architektura ale může běžet s různým strojovým kódem, dokonce i na některých můžeš "udělat" více než na jiné (abych se nezaplet do turingovské úplnosti tak např. zvuk, grafika, ....).
A třeba i jeden strojový kód je implementován více architekturami počítače.
A teď si dosaď:
PASCAL = MA
TEMNO = Stroják
Model TEMNA = Architektura PC
Je to úplně to samé. To, že PASCAL jde implementovat ve strojáku neznamená, že je pascal na strojáku závislej. Stejně tak není MA závislá na TEMNU. Pascal je svébytnej systém se svojema pravidlama, kterej jde ve strojáku nadefinovat. Stejně tak lze nadefinovat MA v TEMNU.
Jedinej rozdíl je v tom, že zatímco MA byla ještě před TEMNEM, tak PASCAL byl až po strojáku, to ale jen zesiluje pozici MA jako svébytného systému.
Ano, Goodsteinovu větu nelze dokázat v Peanově aritmetice, a lze ji dokázat v teorii množin. Jenomže
matematická analýza <> Peanova aritmetika.
Peanova aritmetika je něco diametrálně odlišného od MA: PA zkoumá pouze konečně velké objekty.
Goodsteinova věta se dokazuje pomocí aritmetiky s nekonečny. A tato aritmetika z axiomů MA nijak nevyplývá. V MA se totiž sice používají objekty, které se v TEMNU modelují pomocí axiomu nekonečna, to ale neznamená, že v MA tyto objekty mají vlastnosti dané axiomem nekonečna.
(jinými slovy - v MA množina N není stejné povahy jako přirozené číslo - číslo je číslo a množina je množina - a tedy nejde na N aplikovat aritmetiku přirozených čísel).
Takže ano, matematická analýza <> Peanova aritmetika, ale také matematická analýza <> temno.
To, že MA není TEMNO vyplývá i z toho, že MA požaduje jedinečnost (až na izomorfismus) svého modelu. Ten je ale zajištěn pouze axiomatizací v jazyku druhého řádu, zatímco ZFC je teorie prvního řádu.
Pokud by ses spokojil s teorií založenou na axiomech tělesa, nemohl bys definovat pojmy jako posloupnost, funkce, míra.
Ehm? Proč ne? Běžně se to tak dělá. Ono když použiješ termín množina, tak to ještě neznamená, že používáš teorii množin. Použití teorie množin znamená použití axiomů TEMNA a definic čísel pomocí množin, a to se prostě v MA nedělá. Např. čísla nejsou definované jako speciální typ množin, ale jako entity na množinách nezávislé.
Matematická analýza nejen že potřebuje teorii množin, ale dokonce i teorii množin s axiomem výběru.
No jsem na informatice, takže možná nám něco zamlčeli, ale za celý studium nikdo axiom výběru při analýze nepotřeboval. Máš pro to nějaký důkaz?
Navíc, i kdyby byl např. axiom výběru nutný (o čemž dosti pochybuju, protože naopak pomocí AV se konstruují lebesgueovsky neměřitelné množiny, takže naopak axiom výběru MA spíš "kazí"), tak to furt neznamená, že se používá TEMNO.
Pořád to znamená zavedení dalšího axiomu mezi axiomy MA. Neboť pořád Tě to neomezuje na jednu konkrétní teorii množin s jedním konkrétním modelem: furt existuje hafo axiomatickejch systémů a na nich hafo modelů, z kterých lze vybudovat axiomatický systém MA (včetně axiomu výběru).
.... Jakmile definuješ pojem "2" a věty, které popisují potřebné vlastnosti přirozených čísel, můžeš klidně zapomenout jak bylo "2" zkonstruováno a jaké jsou její prvky a podmnožiny. ....
Stejně tak se dopracuješ k větě o transfinitní indukci (posílal jsi na ni odkaz), která pojem podmnožina nebo prvek vůbec nezná, a mluví jenom o uspořádání.
Ty jsi sem dal větu, kteorus nazval větou o MI kterou prej používáš. No a v tý se o podmnožinách mluví. Takže s nima pracovat musíš.
Ono i to, žes byl schopnej tu větu dát dohromady asi na čtvrtej pokus vypovídá o tom, že zavlékat tam TEMNO není zrovna rozumnej nápad.
Nebo teda používáš jinou větu o MI, která nepoužívá tvrzení o podmnožinách? A jak má člověk, kterej čte Tvuj důkaz vědět, kteoru větu používáš, když jich je teda víc??
159 Odpovědí
53845 Zhlédnutí