Vzdálenost dvou bodů na kouli

stud

Vzdálenost dvou bodů na kouli
« kdy: 08. 08. 2015, 18:46:34 »
Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.


Yarda

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #1 kdy: 08. 08. 2015, 19:09:35 »

anonym

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #2 kdy: 08. 08. 2015, 19:17:44 »
Bože v roku 2015 sa pýtať na vzorec, uja googla nepoznáš? Máš to značne rýchlejšie, ako keď to niekto vygoogli za teba :D

Yarda

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #3 kdy: 08. 08. 2015, 19:45:38 »
Bože v roku 2015 sa pýtať na vzorec, uja googla nepoznáš? Máš to značne rýchlejšie, ako keď to niekto vygoogli za teba :D
Veličenstvo. Nenechte prchlivost cloumat svým majestátem. Kdysi (ještě za totality) jsem absolvoval školení navigace v aeroklubu Svazarmu, tak jsem si vzpomněl, jaké slovo hledat.

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #4 kdy: 08. 08. 2015, 20:08:13 »
Veličenstvo. Nenechte prchlivost cloumat svým majestátem. Kdysi (ještě za totality) jsem absolvoval školení navigace v aeroklubu Svazarmu, tak jsem si vzpomněl, jaké slovo hledat.

Je to čtvrtý odkaz v google při výrazu "Vzdálenost dvou bodů na kouli", takže to WTF docela sedí.


Jenda

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #5 kdy: 08. 08. 2015, 20:33:49 »
Bože v roku 2015 sa pýtať na vzorec, uja googla nepoznáš?
On se ptal na odvození, ne na vzoreček.

A je to trigonometrie 9. třídy základní školy (střední pokud započítáme zploštění Země). Takže bych začal studiem Pythagorovy věty a trigonometrických funkcí, z nich už to určitě poskládáš.

aaa

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #6 kdy: 08. 08. 2015, 21:45:52 »
Hledej sferickou kosinovu vetu a jeji odvozeni (sfericka trigonometrie).

Zhruba jde o to, ze se cast koule promitne na rovinu (kde vzdalenosti urcovat umime) a pak se z danych trojuhelniku odvodi potrebne.

Petr

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #7 kdy: 08. 08. 2015, 23:07:54 »
To je jednoduché, vzdálenost je poloměr koule * úhel mezi vektory ze středu koule do těch dvou bodů. Vektory označme u a v a jejich sférické souřadnice theta_u, theta_v, phi_u a phi_v. Vzdálenost je tedy l = r * arccos ((u * v) / (|u| * |v|). Vyjádříme-li vektory u = (r * sin (theta_u) * cos (phi_u), r * sin (theta_u) * sin (phi_u), r * cos (theta_u)), v = (r * sin (theta_v) * cos (phi_v), r * sin (theta_v) * sin (phi_v), r * cos (theta_v)). Dosazením a roznásobením skalárního součinu dostaneme l = r * arccos (sin (theta_u) * cos (phi_u) * sin (theta_v) * cos (phi_v) + sin (theta_u) * sin (phi_u) * sin (theta_v) * sin (phi_v) + cos (theta_u) * cos (theta_v)) = r * arccos (sin (theta_u) * sin (theta_v) * (cos (phi_u) * cos (phi_v) + sin (phi_u)  * sin (phi_v)) + cos (theta_u) * cos (theta_v)) = r * arccos (sin (theta_u) * sin (theta_v) * cos (phi_u - phi_v) + cos (theta_u) * cos (theta_v)).

PH

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #8 kdy: 09. 08. 2015, 00:54:05 »
Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

To tu nikdo nedá, naprostá většina lidí končí s matematikou u trojčlenky (root nevyjímaje). Odvodit vzoreček a hlavně dokázat, že jde opravdu o nejkratší křivku, je záležitost diferenciální geometrie, což je i na VŠ výběrový (=obtížný) předmět. V podstatě "stačí" odvodit metrický tenzor a pomocí kovariantní derivace získat vzoreček. Ten je ovšem soustavou diferenciálních rovnic druhého řádu. Tak hodně zábavy... ;)

RobS

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #9 kdy: 09. 08. 2015, 12:04:20 »
Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

To tu nikdo nedá, naprostá většina lidí končí s matematikou u trojčlenky (root nevyjímaje). Odvodit vzoreček a hlavně dokázat, že jde opravdu o nejkratší křivku, je záležitost diferenciální geometrie, což je i na VŠ výběrový (=obtížný) předmět. V podstatě "stačí" odvodit metrický tenzor a pomocí kovariantní derivace získat vzoreček. Ten je ovšem soustavou diferenciálních rovnic druhého řádu. Tak hodně zábavy... ;)

IMHO zbytečně složité. Stačí nad zvolenými body vytyčit normály, potom spočíst hodnotu jejich interpolace (pro parametr k=1/2, délku normály zanedbáváme), a protože pro tuto třetí normálu známe všechny její úhly, jednoduše dokážeme spočítat i její odpovídající souřadnice bodu na kouli. Tím dostaneme celkem 3 body na kouli. Pokud tedy máme 3 body a střed koule, a protože všechny leží na ploše, tak se úloha redukuje z 3D na 2D plochu a tam už je to snad triviální, ne?

PH

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #10 kdy: 09. 08. 2015, 12:18:29 »
Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

To tu nikdo nedá, naprostá většina lidí končí s matematikou u trojčlenky (root nevyjímaje). Odvodit vzoreček a hlavně dokázat, že jde opravdu o nejkratší křivku, je záležitost diferenciální geometrie, což je i na VŠ výběrový (=obtížný) předmět. V podstatě "stačí" odvodit metrický tenzor a pomocí kovariantní derivace získat vzoreček. Ten je ovšem soustavou diferenciálních rovnic druhého řádu. Tak hodně zábavy... ;)

IMHO zbytečně složité. Stačí nad zvolenými body vytyčit normály, potom spočíst hodnotu jejich interpolace (pro parametr k=1/2, délku normály zanedbáváme), a protože pro tuto třetí normálu známe všechny její úhly, jednoduše dokážeme spočítat i její odpovídající souřadnice bodu na kouli. Tím dostaneme celkem 3 body na kouli. Pokud tedy máme 3 body a střed koule, a protože všechny leží na ploše, tak se úloha redukuje z 3D na 2D plochu a tam už je to snad triviální, ne?

Tři body jsou dány i bez normál. To ale není odvození. Kroků vedoucích k žádanému vzorečku je hodně a předpokládají mnoho definic. Zde je situace alespoň usnadněna tím, že je dané jasné vnoření, takže se snáze (a intuitivněji) definuje paralelní transport (v podstatě bez explicitní metriky), ale stejně k plnému pochopení člověk metrický tenzor a věci kolem (nemalou část tenzorového počtu) potřebuje. A k tomu pochopitelně diferenciální počet na varietách.

Emil

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #11 kdy: 09. 08. 2015, 15:00:04 »
Chtěl sem na to použít jednou pythagorovku.... ale čím jsou ty body dál, tím víc to dává na h**** výsledek :D

Pan Chytrý

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #12 kdy: 09. 08. 2015, 15:41:57 »
Potřebuješ naleznout elipsoiditu země, určit elipsosečník obou bodů, naleznout k ním kruhovrstevnici a otevřit slivovici. A ono už to pak jde samo.

Pavel...

Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #13 kdy: 09. 08. 2015, 16:10:01 »
Tři body jsou dány i bez normál. To ale není odvození. Kroků vedoucích k žádanému vzorečku je hodně a předpokládají mnoho definic. Zde je situace alespoň usnadněna tím, že je dané jasné vnoření, takže se snáze (a intuitivněji) definuje paralelní transport (v podstatě bez explicitní metriky), ale stejně k plnému pochopení člověk metrický tenzor a věci kolem (nemalou část tenzorového počtu) potřebuje. A k tomu pochopitelně diferenciální počet na varietách.

Odporucam pouzit zdravy rozum, autor otazky sa nepyta na odvodenie vseobecnej variety zo ZF za predpokladu neplatnosti axiomy vyberu.

Zmysluplna odpoved na jeho otazku je: sprav si rez rovinou cez tu gulu, pozri sa na vysledny obrazok.

死神

  • ***
  • 159
    • Zobrazit profil
Re:Vzdálenost dvou bodů na kouli
« Odpověď #14 kdy: 09. 08. 2015, 16:44:11 »
Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

Mám dva body, přidám střed koule, tím získám rovinu, čímž jsem to zredukoval na vzdálenost dvou bodů na kružnici a to už by mělo zvládnout i děcko se ZŠ, ni?