Vzdálenost dvou bodů na kouli

[stud]

Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

[Reklama]

[Yarda]

Tohle by nestačilo?
https://cs.wikipedia.org/wiki/Ortodroma

[anonym]

Bože v roku 2015 sa pýtať na vzorec, uja googla nepoznáš? Máš to značne rýchlejšie, ako keď to niekto vygoogli za teba

[Yarda]

Bože v roku 2015 sa pýtať na vzorec, uja googla nepoznáš? Máš to značne rýchlejšie, ako keď to niekto vygoogli za teba

Veličenstvo. Nenechte prchlivost cloumat svým majestátem. Kdysi (ještě za totality) jsem absolvoval školení navigace v aeroklubu Svazarmu, tak jsem si vzpomněl, jaké slovo hledat.

[Michal Taneček]

Veličenstvo. Nenechte prchlivost cloumat svým majestátem. Kdysi (ještě za totality) jsem absolvoval školení navigace v aeroklubu Svazarmu, tak jsem si vzpomněl, jaké slovo hledat.

Je to čtvrtý odkaz v google při výrazu "Vzdálenost dvou bodů na kouli", takže to WTF docela sedí.

[Reklama]

[Jenda]

Bože v roku 2015 sa pýtať na vzorec, uja googla nepoznáš?

On se ptal na odvození, ne na vzoreček.

A je to trigonometrie 9. třídy základní školy (střední pokud započítáme zploštění Země). Takže bych začal studiem Pythagorovy věty a trigonometrických funkcí, z nich už to určitě poskládáš.

[aaa]

Hledej sferickou kosinovu vetu a jeji odvozeni (sfericka trigonometrie).

Zhruba jde o to, ze se cast koule promitne na rovinu (kde vzdalenosti urcovat umime) a pak se z danych trojuhelniku odvodi potrebne.

[Petr]

To je jednoduché, vzdálenost je poloměr koule * úhel mezi vektory ze středu koule do těch dvou bodů. Vektory označme u a v a jejich sférické souřadnice theta_u, theta_v, phi_u a phi_v. Vzdálenost je tedy l = r * arccos ((u * v) / (|u| * |v|). Vyjádříme-li vektory u = (r * sin (theta_u) * cos (phi_u), r * sin (theta_u) * sin (phi_u), r * cos (theta_u)), v = (r * sin (theta_v) * cos (phi_v), r * sin (theta_v) * sin (phi_v), r * cos (theta_v)). Dosazením a roznásobením skalárního součinu dostaneme l = r * arccos (sin (theta_u) * cos (phi_u) * sin (theta_v) * cos (phi_v) + sin (theta_u) * sin (phi_u) * sin (theta_v) * sin (phi_v) + cos (theta_u) * cos (theta_v)) = r * arccos (sin (theta_u) * sin (theta_v) * (cos (phi_u) * cos (phi_v) + sin (phi_u)  * sin (phi_v)) + cos (theta_u) * cos (theta_v)) = r * arccos (sin (theta_u) * sin (theta_v) * cos (phi_u - phi_v) + cos (theta_u) * cos (theta_v)).

[PH]

Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

To tu nikdo nedá, naprostá většina lidí končí s matematikou u trojčlenky (root nevyjímaje). Odvodit vzoreček a hlavně dokázat, že jde opravdu o nejkratší křivku, je záležitost diferenciální geometrie, což je i na VŠ výběrový (=obtížný) předmět. V podstatě "stačí" odvodit metrický tenzor a pomocí kovariantní derivace získat vzoreček. Ten je ovšem soustavou diferenciálních rovnic druhého řádu. Tak hodně zábavy...

[RobS]

Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

To tu nikdo nedá, naprostá většina lidí končí s matematikou u trojčlenky (root nevyjímaje). Odvodit vzoreček a hlavně dokázat, že jde opravdu o nejkratší křivku, je záležitost diferenciální geometrie, což je i na VŠ výběrový (=obtížný) předmět. V podstatě "stačí" odvodit metrický tenzor a pomocí kovariantní derivace získat vzoreček. Ten je ovšem soustavou diferenciálních rovnic druhého řádu. Tak hodně zábavy...

IMHO zbytečně složité. Stačí nad zvolenými body vytyčit normály, potom spočíst hodnotu jejich interpolace (pro parametr k=1/2, délku normály zanedbáváme), a protože pro tuto třetí normálu známe všechny její úhly, jednoduše dokážeme spočítat i její odpovídající souřadnice bodu na kouli. Tím dostaneme celkem 3 body na kouli. Pokud tedy máme 3 body a střed koule, a protože všechny leží na ploše, tak se úloha redukuje z 3D na 2D plochu a tam už je to snad triviální, ne?

[PH]

Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

To tu nikdo nedá, naprostá většina lidí končí s matematikou u trojčlenky (root nevyjímaje). Odvodit vzoreček a hlavně dokázat, že jde opravdu o nejkratší křivku, je záležitost diferenciální geometrie, což je i na VŠ výběrový (=obtížný) předmět. V podstatě "stačí" odvodit metrický tenzor a pomocí kovariantní derivace získat vzoreček. Ten je ovšem soustavou diferenciálních rovnic druhého řádu. Tak hodně zábavy...

IMHO zbytečně složité. Stačí nad zvolenými body vytyčit normály, potom spočíst hodnotu jejich interpolace (pro parametr k=1/2, délku normály zanedbáváme), a protože pro tuto třetí normálu známe všechny její úhly, jednoduše dokážeme spočítat i její odpovídající souřadnice bodu na kouli. Tím dostaneme celkem 3 body na kouli. Pokud tedy máme 3 body a střed koule, a protože všechny leží na ploše, tak se úloha redukuje z 3D na 2D plochu a tam už je to snad triviální, ne?

Tři body jsou dány i bez normál. To ale není odvození. Kroků vedoucích k žádanému vzorečku je hodně a předpokládají mnoho definic. Zde je situace alespoň usnadněna tím, že je dané jasné vnoření, takže se snáze (a intuitivněji) definuje paralelní transport (v podstatě bez explicitní metriky), ale stejně k plnému pochopení člověk metrický tenzor a věci kolem (nemalou část tenzorového počtu) potřebuje. A k tomu pochopitelně diferenciální počet na varietách.

[Emil]

Chtěl sem na to použít jednou pythagorovku.... ale čím jsou ty body dál, tím víc to dává na h**** výsledek

[Pan Chytrý]

Potřebuješ naleznout elipsoiditu země, určit elipsosečník obou bodů, naleznout k ním kruhovrstevnici a otevřit slivovici. A ono už to pak jde samo.

[Pavel...]

Tři body jsou dány i bez normál. To ale není odvození. Kroků vedoucích k žádanému vzorečku je hodně a předpokládají mnoho definic. Zde je situace alespoň usnadněna tím, že je dané jasné vnoření, takže se snáze (a intuitivněji) definuje paralelní transport (v podstatě bez explicitní metriky), ale stejně k plnému pochopení člověk metrický tenzor a věci kolem (nemalou část tenzorového počtu) potřebuje. A k tomu pochopitelně diferenciální počet na varietách.

Odporucam pouzit zdravy rozum, autor otazky sa nepyta na odvodenie vseobecnej variety zo ZF za predpokladu neplatnosti axiomy vyberu.

Zmysluplna odpoved na jeho otazku je: sprav si rez rovinou cez tu gulu, pozri sa na vysledny obrazok.

[死神]

Jak se odvozuje vzoreček pro vzdálenost dvou bodů daných zeměpisnými souřadnicemi? Vzoreček lze snadno vygooglit, ale těžko se hledá nějaké jeho stručné odvození nebo geometrické vysvětlení.

Mám dva body, přidám střed koule, tím získám rovinu, čímž jsem to zredukoval na vzdálenost dvou bodů na kružnici a to už by mělo zvládnout i děcko se ZŠ, ni?