Konkrétní využití převodu soustavy lin. rekurentních vztahů na nekonečnou matici(Budu psát stručně, ale co není jasné, dodatečně vysvětlím)
Jsme v situaci "Výchozí situace" (
#387)
Máme tedy soustavu lineárních diferenčních rovnic (1)
a(n) = c(1,j)a(n-1) + c(2,j)a(n-2) + ... c(k,j)a(n-k)
soustavu převedeme na nekonečnou matici C = ( c(i,j) )
("c" v matici neodpovídají těm ve vztahu (1) )
Matice je celá nulová kromě pruhu nad diagonálou.
Nyní se položme na otázku: v konečné dimenzi matice M definuje vztahem f(x)=Mx homomorfismus. Platí to i pro naši nekonečnou matici?
Platí, a to především díky tomu, že v každém řádku matice C je pouze konečný počet nenulových členů.
Můžeme tedy směle prohlásit, že množina všech řešení soustavy (1) odpovídá množině vektorů x, pro které Cx=0.
Nalézt všechna řešení soustavy (1) tedy znamená nalézt jádro homomorfismu f(x)=Cx
(V tomto odstavci jsem jenom trochu přesněji zopakoval
#393 , ale nyní ukážu, že analogie vyjádřená v minulém řádku má i přímé uplatnění:
Úloha 1: řešení soustavy (1) tvoří vektorový prostor. Jaká je jeho dimenze?Hledáme dimenzi jádra homomorfismu Cx.
Když se na matici C podíváme zkušeným okem, vypadá to, že
její "hodnost" je "nekonečno - (k-1)" a
její defekt (dimenze jádra) je k-1.
Ale nyní musíme tuto úvahu formalizovat:
Vezmeme homomorfismus, který odpovídá konečné submatici C' matice C, kterou tvoří počátek nejhornějšího (nultého) řádku matice C:
C'= ( c(0,0) c(1,0) .................. c(k,0))
( c(k,0) je nenulové )
Aparát, který známe z konečných homomorfismů a jejich matic nám říká, že
- hodnost matice C' je 1.
- a proto dimenze jádra homomorfismu C'x je k-1.
Nyní stačí ukázat, že dimenze jádra Cx = dimenze jádra C'x : k tomu nám stačí nalézt izomorfismus mezi oběma jádry: zobrazení získáme tak, že z každé posloupnosti, která leží v jádru Cx, odstraníme vše až na prvních k-1 členů; pak ukážeme, že toto zobrazení je izomorfismem.
Úloha 2: Jak vypadá množina řešení soustavy s pravou stranou? (tj. lineární soustava rekurentních vzorců (1) má navíc konstatní členy)
aparát o homomorfismech nám okamžitě dává:
je-li {z(n)} řešení soustavy s pravou stranou, je množinou všech řešení
{z(n)} + <jádro příslušné homogenní soustavy>