Příspěvky

16

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 27. 05. 2015, 15:38:00 »

To počítání dimenze mi přišlo zbytečně komplikované, sám sis to zkomplikoval natolik, žes tam udělal drobnou chybu.

Pokud bych musel konstruovat bázi, tak bych udělal stejnou chybku a k tomu pár dalších.

Co je podle tebe komplikované?
(Intuitivní) zjištění dimenze je jednoduché - je vidět ze tvaru té nekonečné matice.
To co je možná komplikovanější je formalizace důkazu. Ale pořád je ten důkaz mnohem jednodušší, než důkaz kdybys konstruoval bázi.

Zkoušel jsi mě tady z toho, jestli dokážu ukázat konkrétní využití nekonečné matice. Mám se tě začít ptát "a umíš jednodušší důkaz"?

To buse asi okrajový význam slova okamžité, který mi zatím unikl . Abys dostal to okamžité řešení, tak musíš už nějaké znát a také potřebuješ znát to jádro.

Úloha zněla "jak řešení vypadá". To, že vypadá jako
jedno řešení nehomogenní + prostor řešení homogenních
ti po převedení původní úlohy na homomorfismus vypadne okamžitě.
Pokud nepřevedeš úlohu na homomorfismus, budeš muset znova vynalézat kolo, tj. opakovat stejné úvahy jako při studiu obecných homomorfismů

17

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 27. 05. 2015, 13:02:13 »

... celý zbytek této šílené diskuze už je jen o tom, k čemu může být takové rozepsání konkrétně dobré. Takže abychom to už nějak konečně ukončili, bude fajn se odteď soustředit na ten konkrétní příklad využití.

  Tak abychom to konečně ukončili:
Vidíš už, k čemu čemu může být takové rozepsání (převod na nekonečnou matici/homomorfismus) konkrétně dobré?

V úloze 1 nemusíš konstruovat bázi řešení a dokazovat, že je to báze.
V úloze 2 dostaneš okamžité řešení.
 

18

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 18. 05. 2015, 10:28:48 »

jsem zatím teprve v sedmičce,
Jenomže tady každý užívá slovo "studentík" jako urážku, tak jsem napsal, že jsem základku už dokončil.

19

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 18. 05. 2015, 10:17:33 »

No dobře, no. Když jsem říkal, že mám základní školu, tak to nebyla tak úplně pravda.

20

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 18. 05. 2015, 00:34:48 »

No ale pokud jsi tím chtěl vyjádřit, že každý člen posloupnosti a(n) může být počítán na základě jiné sady koeficientů, pak jsi neměl použíj j, ale přímo to n a bylo by to jasné:

jasné to bylo i tak, jenom tys tu definici špatně přečetl 

Ale máš samozřejmě pravdu, mohl jsem mít o jedno písmenko míň.
(a jde o to, že já jsem chtěl mít koeficienty indexované od nuly, protože jsem se chystal přejít na matici a chtěl jsem psát j+k místo n)

Tak vidíš, kam to tvé "zjednodušení" na nekonečnou matici vedlo

No tak to je chyba na úrovni překlepu.
Obyčejně nerozlišuju věci jako 0<->1 nebo levý<->pravý 

21

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 17. 05. 2015, 23:49:35 »

No a pokud už tedy pracujeme s variantou j=1, tak pak máme jen jeden rekurentní vztah:

a(n) = c(1)a(n-1) + c(2)a(n-2) + ... c(k)a(n-k)

Ten nám určuje hodnoty prvků posloupnosti jednoznačně - s výjimkou prvých k členů, na které ten vztah nemůžeme aplikovat. Pokud nemáme dány počáteční podmínky, můžeme si prvních k členů posloupnosti zvolit libovolně, z čehož mi vychází, že dimenze prostoru řešení je k.

Toto je lineární soustava s konstantními koeficienty, já uvažuji obecnou lineární soustavu.
(Ale tvoje úvaha platí i pro obecnou lineární soustavu.)

22

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 17. 05. 2015, 23:45:09 »

Jak jsem psal, leda tak pro j=1. Jinak bude vypadat ta matice nějak takto:

Nevím, co to máš za definici.
V mé definici je j přirozené a označuje číslo vztahu=řádku.
Konstanty mohou být v každém řádku jiné, vždycky však spočítám další člen posloupnosti z k předcházejících členů.

čehož mi vychází, že dimenze prostoru řešení je k.

Ano dimenze je k.

Já jsem v úvaze udělal tuto chybu: chvíli jsem uvažoval
k+1 koeficientů v řádce (0 až k)
a jindy zase
k koeficientů v řádce (1 až k)

Ale podle mé definice jsou koeficienty 0 až k, takže dimenze je k.

23

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 17. 05. 2015, 22:37:06 »

Opticky ten nenulový pruh vypadá jako nekonečný obdélník, s konečnou šířkou kolmou na diagonálu.

Kód: [Vybrat]

kkkk
0kkkk00
00kkkk00
000kkkk000
Takže přesnější než "nad diagonálou" by bylo "vpravo a nad diagonálou".
Äle takovýchto nepřesností v neformálních vyjádřeních tam mám víc. Nejlepší je asi "hodnost je nekonečno minus (k-1)" 

24

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 17. 05. 2015, 21:59:08 »

Koeficienty do jisté míry znám: vím, že ten poslední koeficient v každém řádku je nenulový
Rovnice neurčují posloupnost jednoznačně.

25

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 17. 05. 2015, 18:07:48 »

Konkrétní využití převodu soustavy lin. rekurentních vztahů na nekonečnou matici
(Budu psát stručně, ale co není jasné, dodatečně vysvětlím)

Jsme v situaci "Výchozí situace" (#387)

Máme tedy soustavu lineárních diferenčních rovnic (1)
a(n) = c(1,j)a(n-1) + c(2,j)a(n-2) + ... c(k,j)a(n-k)

soustavu převedeme na nekonečnou matici C = ( c(i,j) )
("c" v matici neodpovídají těm ve vztahu (1) )
Matice je celá nulová kromě pruhu nad diagonálou.

Nyní se položme na otázku: v konečné dimenzi matice M definuje vztahem f(x)=Mx homomorfismus. Platí to i pro naši nekonečnou matici?
Platí, a to především díky tomu, že v každém řádku matice C je pouze konečný počet nenulových členů.
Můžeme tedy směle prohlásit, že množina všech řešení soustavy (1) odpovídá množině vektorů x, pro které Cx=0.
Nalézt všechna řešení soustavy (1) tedy znamená nalézt jádro homomorfismu f(x)=Cx
(V tomto odstavci jsem jenom trochu přesněji zopakoval #393 , ale nyní ukážu, že analogie vyjádřená v minulém řádku má i přímé uplatnění:

Úloha 1: řešení soustavy (1) tvoří vektorový prostor. Jaká je jeho dimenze?

Hledáme dimenzi jádra homomorfismu Cx.
Když se na matici C podíváme zkušeným okem, vypadá to, že
její "hodnost" je "nekonečno - (k-1)" a
její defekt (dimenze jádra) je k-1.
Ale nyní musíme tuto úvahu formalizovat:
Vezmeme homomorfismus, který odpovídá konečné submatici C' matice C, kterou tvoří počátek nejhornějšího (nultého) řádku matice C:
C'= ( c(0,0) c(1,0) .................. c(k,0))   
( c(k,0) je nenulové )
Aparát, který známe z konečných homomorfismů a jejich matic nám říká, že
- hodnost matice C' je 1.
- a proto dimenze jádra homomorfismu C'x je k-1.
Nyní stačí ukázat, že dimenze jádra Cx = dimenze jádra C'x : k tomu nám stačí nalézt izomorfismus mezi oběma jádry: zobrazení získáme tak, že z každé posloupnosti, která leží v jádru Cx, odstraníme vše až na prvních k-1 členů; pak ukážeme, že toto zobrazení je izomorfismem.


Úloha 2: Jak vypadá množina řešení soustavy s pravou stranou? (tj. lineární soustava rekurentních vzorců (1) má navíc konstatní členy)

aparát o homomorfismech nám okamžitě dává:
je-li {z(n)} řešení soustavy s pravou stranou, je množinou všech řešení
{z(n)} + <jádro příslušné homogenní soustavy>

26

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 14. 05. 2015, 15:10:36 »

lineární diferenční rovnice nejsou triviální

Vyžaduji důkaz tohoto tvrzení.

Tak to spíš ty ukaž triviální vysvětlení všeho kolem lineárních diferenčních rovnic.

Dneska tu už nebudu, tak mě prosím zase nepohřběte.

27

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 14. 05. 2015, 14:51:21 »

Tohle je naše téma! 

Moje a Jakuba Galgonka. Ostatním je dovoleno hrát jenom krátké štěky.

28

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 14. 05. 2015, 14:22:16 »

prosím tě, hoď to jinam, tady je to zabordelený až až.

29

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 14. 05. 2015, 14:05:14 »

Jemu se především nelíbí, že já, s dokončenou základní školou, si dovolím tvrdit, že vysoké školy dokončí spousta blbců, a to někdy i s červeným diplomem.

Takovou analogii objevíš i při řešení rovnice x^2 = 9.

rovnice x^2 = 9 je jednak řešitelná triviálně
jednak jde pouze o jedinečný exemplář polynomiální rovnice

naopak
lineární diferenční rovnice nejsou triviální
a představují rozsáhlou třídu homomorfismů ve spočetné dimenzi (jsou to takové skorodiagonální homomorfismy)

30

Studium a uplatnění / Re:Je titul potřebný pro praxi?

« kdy: 14. 05. 2015, 13:31:16 »

No počkej, neutíkej z toho 

uznáváš, že jsem ti vysvětlil, že převod na nekonečnou matici je opravdu výhodný (minimálně pro uspořádání si myšlenek a objevení analogií),
a že ten konkrétní příklad užití, který po mně pořád chceš, je už jenom přídavek?

(Mimochodem, já ten konkrétní příklad mám v hlavě už dlouho, je jednoduchý, těžké je jenom zapsat to polopaticky na papír tak, abys to pochopil  )